引言
相交检测 (Intersection Test) 是物理引擎的心脏。 它回答了“子弹是否击中敌人？”、“玩家是否站在地面上？”等问题。
1. 射线检测 (Raycasting)
射线由一个起点 \(O\) 和一个方向 \(D\) 定义：\(R(t) = O + D \cdot t\) (\(t \ge 0\))。
射线与球体 (Ray vs Sphere)
球体方程：\(|P - C|^2 = r^2\)。 将射线方程代入球体方程，会得到一个关于 \(t\) 的一元二次方程： \[ at^2 + bt + c = 0 \]
- 如果 \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\): 无解 (未击中)。
- 如果 \(\Delta = 0\): 一个解 (擦边)。
- 如果 \(\Delta > 0\): 两个解 (穿过，一个入口 \(t_1\)，一个出口 \(t_2\))。
通常我们只关心最小的正解 \(t\)，那是最近的击中点。
射线与平面 (Ray vs Plane)
将射线代入平面方程 \(\vec{n} \cdot P + d = 0\)。 \[ \vec{n} \cdot (O + D \cdot t) + d = 0 \] 解出 \(t\): \[ t = \frac{-(\vec{n} \cdot O + d)}{\vec{n} \cdot D} \]
注意分母 \(\vec{n} \cdot D\)： - 如果接近 0，说明射线与平面平行，无交点。 - 如果 > 0，说明射线从背面射出（通常不检测）。
2. AABB 包围盒 (Axis-Aligned Bounding Box)
这是最简单也是最快的碰撞检测形状。 它由两个点定义：\(min(x,y,z)\) 和 \(max(x,y,z)\)。 “轴对齐”意味着盒子不能旋转，永远平行于世界坐标轴。
AABB vs AABB 检测
两个 AABB 相交，当且仅当它们在 X、Y、Z 三个轴上都重叠。
bool Intersect(AABB a, AABB b) {
return (a.min.x <= b.max.x && a.max.x >= b.min.x) &&
(a.min.y <= b.max.y && a.max.y >= b.min.y) &&
(a.min.z <= b.max.z && a.max.z >= b.min.z);
}这是物理引擎中宽阶段 (Broad Phase) 碰撞检测的核心算法，用于快速剔除不可能相撞的物体。
3. 射线与 AABB (Slab Method)
将 AABB 看作是三组平行的平面（X轴一对，Y轴一对，Z轴一对）。 射线必须穿过所有三组“板 (Slab)”的重叠区域才算击中盒子。 这通常涉及计算 \(t_{min}\) 和 \(t_{max}\) 在三个轴上的最大值和最小值。
总结
- 射线检测: 用于射击、视线判断、鼠标拾取。
- AABB: 用于粗略的物理碰撞和视锥体剔除。
- 球体: 用于简单的范围触发器。
复杂的网格碰撞（Mesh Collider）通常太慢，游戏开发中会尽量用组合的 AABB 或球体来近似。