游戏中的数学

专题简介

欢迎来到”游戏中的数学”专题。本系列文章旨在构建一套深度与广度兼备的学习路径，不仅覆盖 API 的使用，更深入数学原理层面，剖析向量、矩阵、物理模拟、图形渲染等核心机制，为游戏开发打下坚实基础。

本系列以 Unity / C# 为主要示例环境，概念同样适用于 Unreal、Godot 或自研引擎。部分图形学文章使用 GLSL/HLSL 着色器代码。

推荐阅读路径

根据你的目标，可以选择不同的阅读顺序：

纯新手路径（从零开始）： 标量数学 → 三角函数 → 向量 → 矩阵 → 四元数 → 距离与检测 → 运动学 → 碰撞响应

图形程序路径（侧重渲染）： 向量 → 矩阵 → 四元数 → 渲染管线 → 光照模型 → 曲线数学

玩法 / AI 路径（侧重游戏逻辑）： 标量数学 → 向量 → 距离与检测 → 相交检测 → 运动学 → 碰撞响应 → 随机与噪声 → 导航与行为

当然，按目录顺序从头读到尾也是完全没有问题的。

目录

第一阶段：基础工具箱 (01-basics)

目标：解释游戏引擎 Mathf / FMath 类中最常用的函数。

• 标量数学与实用函数 (Scalar Math)
  • Lerp, InverseLerp, Remap, Clamp, SmoothStep
• 三角函数入门 (Trigonometry)
  • Sin/Cos 单位圆原理
  • Atan2 与朝向计算

第二阶段：线性代数 (02-linear-algebra)

目标：理解空间、方向和变换。

• 向量 (Vectors)
  • 向量的定义与基本运算
  • 点积与叉积的几何意义及应用
• 矩阵与变换 (Matrices)
  • 平移、旋转、缩放矩阵
  • 逆矩阵与法线变换
  • 旋转表示法对比（矩阵 vs 欧拉角 vs 四元数）
• 四元数 (Quaternions)
  • 欧拉角与万向节死锁
  • Slerp 球面插值

第三阶段：几何学 (03-geometry)

目标：处理形状、距离和相交检测。

• 距离与检测 (Distances)
  • 欧几里得 vs 曼哈顿
  • 点到平面/直线的距离
• 相交检测 (Intersections)
  • 射线检测 (Raycast) 原理
  • AABB 包围盒碰撞算法

第四阶段：物理模拟 (04-physics)

目标：让游戏世界动起来。

• 运动学基础 (Kinematics)
  • 速度、加速度与积分器 (Euler vs Verlet)
  • 抛物线运动模拟
• 碰撞响应 (Collision Response)
  • 动力学基础：力、质量与动量守恒
  • 反射向量与弹力
  • 冲量求解与摩擦力模型

第五阶段：图形学 (05-graphics)

目标：理解像素背后的数学。

• 渲染管线中的数学 (Rendering Pipeline)
  • 坐标空间变换流程
  • 透视除法与投影矩阵
• 光照模型 (Lighting Models)
  • Lambert 漫反射
  • Phong vs Blinn-Phong 镜面反射

第六阶段：动画与曲线 (06-animation)

目标：让运动更自然。

• 曲线数学 (Curves)
  • 贝塞尔曲线 (Bezier) 与 De Casteljau 算法
  • Catmull-Rom 样条与曲线选型指南
• 骨骼动画数学 (Skeletal Animation)
  • 正向动力学 (FK) vs 反向动力学 (IK)
  • CCD 与 FABRIK 算法简介

第七阶段：AI 与过程生成 (07-ai-procgen)

目标：创造智能与无限内容。这两篇分别对应过程生成（噪声驱动的内容生产）和运行时 AI（导航与群体行为），它们共同回答如何用算法替代手工的问题。

• 随机与噪声 (Random & Noise)
  • Perlin 噪声算法原理
  • Simplex / Worley 噪声对比与工程实践
• 导航与行为 (Navigation)
  • A* 寻路算法基础
  • Boids 群体模拟 (分离、对齐、内聚)